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위와 같은 상황일 때
1. 스프링과 댐퍼가 질량 m을 가진 물체에 연결되어 있다.
2.바닥과의 마찰은 무시한다.
3.Energy 손실은 없다
아래와 같이 FBD(Free Body Diagram)을 그릴 수 있습니다.
위 식을 보면 비감쇠 자유진동에 댐핑계수 C가 추가되었으므로 이를 간단히 할 새로운 개념이 필요합니다.
이에 적용되는 새로운 개념이 감쇠비 Damping ratio입니다.
위 Damping ratio를 식에 적용하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.
고유진동수 포스팅에서와 같이 결과를 예상하고 대입하였을 때 맞으면 되는 것으로 다음과 같이 예측하고 대입하게 됩니다.
이제 이렇게 구한 s를 원래식에 대입하면 다음과 같습니다.
마지막 줄에 euler fomula에 의해 다음과 같이 나오는데 Euler fomula는 다음과 같습니다.
Euler fomula
여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, i는 제곱하여 -1 이 되는 sin cos 은 삼각함수의 사인과 코사인 함수입니다.
x에 pi를 대입하여, e^(i*pi)+1=0 이라는 오일러 등식이 결과입니다.
위에서 구한 A와 B를 대입하면 다음과 같은 결과를 도출할 수 있습니다.
위에서 구한 식을 그래프로 그리면 다음과 같이 나오게 됩니다.
Damping ratio의 값에 따라 결과가 달라지는데 다음과 같은 경계로 나타낼 수 있습니다.
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