몽키로 전력 변환하기

보통 기계공학에서 similarity(상사성)를 말할 때 유체역학에서는 블라시우스의 상사가 유명하지만

열전달에서도 상사성(similarity)를 이용합니다.

상사란?

유체역학이나 유체의 유동으로 인한 열전달(bulk motion에 의한 열전달)은 특정형상에 대한 실험적 해석을 통해

규칙을 찾아 실험식을 만들게 되는데 이때 다른 크기나 비슷한 형상에서도 적용할 수 있도록 단위의 차원을 무차원으로 만든 것을 상사라고 합니다

상사성을 이용하지 않는 경우 대류열전달을 해석할 때 보통 대류열전달계수 h[w*C/m^2]를 이용 해 왔습니다.

하지만 이러한 대류열전달 계수는 변하지 않고 일정한 Average Heatflux Coef를 사용해 왔습니다.

하지만 이는 실제와는 어느정도 차이가 있고 식으로 엄밀해를 찾는데 한계가 있어 여러 실험을 통해 특정조건을 가진 특정한 식을 만들어 냈습니다.

이러한 식에 사용된 값들은 모두 무차원으로 만들어 사용하는데 아래와 같습니다

이렇게 무차원으로 만드는 이유는 형태가 비슷하고 크기만 다르다면 무차원이면 같은 식을 적용하기 편하기 때문입니다.

이러한 식이 적용되는 것을 알아보기 전 먼저 유체역학에서 나오는 Boundary layer에 대해 알아보도록 하겠습니다.

유체역학에서 boundary layer는 평판이 있을 때 유체가 U_inf라는 속도로 접근하여 지나갈 때 점성에 의해 속도의 차이가 발생하고 U_inf의 99%의 속도를 가진 높이까지의 점들을 연결한 line이 boundary layer라 정의 합니다.

boundary layer에서 처음에는 층류->천이구역->난류로 변하게 되는데 이러한 경계를 정의하는 수가 레이놀즈 수 입니다. 레이놀즈 수 는 아래와 같이 정의되며 무차원 수 입니다.

boundary layer에서 속도는 x에 따라 변하는데 물리량을 무차원화 하면 속도변화를 하나의 그래프로 표현이 가능하다는 것 즉 일반화 가능하다라는 것이 similarity 입니다(어려우실수도 있는데 쉽게 말하자면 하나의 식으로 여러 상태를 풀 수 있다라고 생각하시면 됩니다.)

이러한 무차원화는 유체역학에서 블라시우스가

이 식 에타의 함수로 속도를 나타내었습니다

이식을 이용한다면 Navier-stokes를 사용하지 않아도 유체의 속도와 압력만 안다면 유체의 거동을 알 수 있는 장점이 있습니다.

(Navier-stokes는 못 풀고 근사해만 얼추 알 수 있습니다, 이 식을 푼다면 노벨상 받을 수 있습니다)

참고로

boundary layer에서

mass conservation을 이용하면 continuity equation

moment conservation은 Navier-Stokes

energy conservation은 Bernuii equation

의 식들이 나온 것 입니다.

지금까지는 유체역학이고 열전달로 넘어오면

경계층에는

속도 boundary layer

온도 boundary layer

물질 boundary layer'

가 있고 온도는 속도 boundary layer와 비슷하게 T_inf의 99%가 되는 지점을 이은 선입니다.

물질 boundary layer 도 99%의 밀도선이지만 물질은 화학쪽에서 많이 다루는 것이라 넘어가도록 하겠습니다.

아래식이 차례대로

속도boundary layer

온도boundary layer

물질boundary layer 입니다.

이러한 식들을 보시면 모두 무차원 수로 정의되어 있다는 것을 확인할 수 있습니다.

열을 해석할 때 많이 보는 것은 열전달량과 온도입니다. 그렇기에 실제 산업에서는 h(대류열전달계수)를 구하는 것이 중요합니다.

무차원 수 중에서 대류열전달계수 h를 구할 수 있는 수는 Nussel number 입니다.

이 무차원 수인 Nussel number는 여러 조건이 있는 실험식을 통해 구한 후 위의 식을 통해 구할 수 있습니다.

실험식을 보시면 아시겠지만 Nussel number는 길이x,Re,Pr수의 함수입니다.

즉 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

여기서 Pr은 Prandtl number입니다.

여기서 중요한 점은 위 함수의 x Re Pr(물성치)는 온도에 따라 변하지 않는 constant한 수라고 가정되어야 합니다.

예를 들면 매끈한 관을 통과하는 유동에 대한 Nussel Number를 구한다면 아래와 같은 실험식에서

각각의 값을 대입하여 Nu를 구할 수 있습니다.

다만 이러한 식들은 실험식이므로 Re수와 Pr수 같은 무차원 수를 구할 때 단위에 주의하여야 합니다.

이와 같은 방식(similarity)를 이용하여 열해석이 가능합니다.

열전달 책에서 각각의 식들을 찾으면 되는데 위 식들은 실험식이라 조건이

마지막으로

각 무차원수의 의미를 알아보도록 하겠습니다.

Re=관성력/점성력

Pr= 운동량확산/열확산

Nu= 대류열전달/전도열전달

Sc=운동량확산/물질확산

입니다.

이번포스팅에서는 물질 B.L에 관해 다루지 않았는데

제가 잘 몰라서 못 썻습니다...

만약 stream function이 일정한 경우를 생각해보면 다음과 같이 표현됩니다.

위의 최종식을 보면 stream line(유선)의 식과 같은 것을 확인할 수 있습니다.

이것을 통해 stream function이 일정하다면 유선과 같고 이름에 왜 stream이 붙었는지를 알 수 있습니다.

streamline에 관한 내용은 streamline 포스팅 참조

stream function이 일정하다면 일정한 stream line사이의 유량을 구해보면 다음과 같습니다.

즉 일정한 stream function을 안다면 streamline의 차를 통해 유량의 변화를 알 수있습니다.

다음으로는 irrotational flow에서의 vorticity에 대해 알아보도록 하겠습니다.

즉 stream function이 irrotational flow이라면 laplace equation을 만족하여

앞선포스팅에서 확인했듯이 continuity equation을 만족하기 때문에 물리적으로 타당하다 할 수 있습니다.

다음으로는 velocity potential과 stream function의 관계에 대해 알아보도록 하겠습니다.

위와 같은 결과를 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

laplace equation을 통해 velocity potential을 얻고 위와 같은 velocity potential과 streamline(constant stream function)의 관계를 통해 flow pattern을 알 수 있습니다.

쉽게 말하면

속도

potential flow에서 laplace equation을 취하고 gradient로 속도를 구할 수 있습니다.

압력

베르누이방정식을 통해 pressure을 구한다.

(베르누이방정식은 streamline상에서만 유효합니다)

(베르누이방정식 포스팅 참조)

즉 Potential flow을 이용하면 비선형인 Euler equation을 풀지 않고서도 속도와 압력을 알 수 있습니다.

유체의 유동을 표현하는 방법은 총 3가지로 Pathline streakline streamline에 대해 알아보도록 하겠습니다.

Pathline(유적선)

pathline은 Lagrange한 방법으로 유체입자를 표현한 것으로 유체입자를 일정시간동안 궤적을 그린것으로

다음과 같습니다.

streakline(유맥선)

streakline은 주어진 시간동안에 유체입자가 유선을 따라 진행항 경로로

어떠한 지점을 정해놓고 그 지점을 지나는 입자들의 이동을 이은 선입니다.

strickline의 특징으로는 streakline선상에 있는 유체입자라면 이전시간에 특정한 지점을 지난 유체들입니다.

이 streamline을 보면 streamline을 안다면 속도장을 알 수 있다라고 볼 수 있습니다

potential flow란?

irrotational ,inv

icid flow 에서 속도와 압력을 알수있는 방법중 하나입니다.

potential flow는 invicid 영역이기 때문에 처음에 rotation하는 유체의 경우에는 계속해서 rotation하고 irrotation하는 유체는 계속 iroration합니다.

potential flow를 사용하면 continuity equation과 Euler equation을 풀지 않고 속도장을 알 수 있는 방법으로

이전포스팅에서 경계층영역이 viscous flow영역이므로 경계층 밖의 속도와 압력을 구하고자 할 때 이용됩니다.

이러한 potential flow를 굳이 사용하는 이유는

Euler equation이 비선형이기에 못 풀어서 사용합니다.

potential flow를 시작하기 전에 potential flow에서 사용되는 기본수식에 대해 알아보도록 하겠습니다.

유체입자유동 기본수식

potential flow에서 나오는 gradient divergent curl의 정리입니다

gradient :▽P

스칼라함수의 미분으로 각 좌표로 미분한 후 단위vector의 곱을 더한 것으로

3차원에서의 각각의 미분이라고 보면 됩니다.

divergent :▽· P

내적의 형태로 나타내고 ▽· P 와 같이 표현됩니다.

내적을 취하였기 때문에 방향성을 상실하고 크기만을 나타내는 스칼라함수가 됩니다.

curl :▽x P

외적의 형태로 나타나고 ▽x P와 같이 표현됩니다.

이는 유체의 한 입자가 회전한 정도를 나타내는 것입니다.

여기서 중요한 사실은

divergent 와 curl ,curl과 divergent를 취하게 되면 수학적으로 모두 0이됩니다.

kelvin helmholtz theorem

아래와 같은 유동이 있을경우를 생각해 보도록 하겠습니다.

1.only normal force

2.irrotational

이러한 조건을 가진 것이 potential flow 또는 ideal flow라고 합니다.

이것이 kelvin helmholtz theorem 입니다.

이러한 potential flow를 이해하기 먼저

유체입자의 유동은 중요한 것이 vortex와 circulation이 있습니다.

vortex는 유체하나의 입자가 회전하는 세기를 나타내는 것이고 circulation은 단면을 지나가고 있는 유체입자의

회전세기의 총 합입니다.

Velocity potential

Euler equation을 보면

결론적으로 Euler equation을 만족하는 해중 하나는 vortex가 0일 경우 즉 irrotation일 경우 만족합니다.

다음으로 알아볼 것은 velocity potential입니다.

이러한 velocity potential은 euler equation을 만족하므로

물리적으로 타당하기 위해 이젠 continuity equation을 만족하는지 보아야 합니다.

continuity equation은 다음과 같았음을 저번 연속방정식 포스팅에서 확인해 본 바 있습니다.

여기서 incompressive를 만족하기 위해 다음과 같아야 합니다.

앞에서 euler equation을 통해 momentum conservation을 만족하였고

continuity equation을 통해 mass conservation을 만족하면되는데

여기서 의미하는 것은

laplace equation을 만족하는 모든 해는 velocity potential이 될 수 있다는 것입니다.

각 좌표계에 따른 laplace equation은 다음과 같습니다.

지금 까지로 보면 laplace equation을 만족하는 해 즉velocity potential은 irrotational incompressive invicid flow하에 있고 velocity potential에 gradient를 취하게되면 속도를 알 수 있습니다.