몽키로 전력 변환하기

[문제1]

핀(Fin)봉의 지름 D = 25 mm이고 열전도계수 k =60 W/m-K

벽온도 Tw = 200도 핀은 벽에 수직으로세워져 있으며 벽은 단열두께

L_insulation = 200 mm인 단열재로 단열되어 있다.

본 핀봉의 단열으로부터 벗어나는 지점의 온도 To 는 화상등의 안전을 위하여

최대온도 T_max = 100oC아래에서 유지되어야 한다. 대기온도 T_∞ = 25도이고, 대류열전

달계수 h = 15 W/m2․K. 핀봉이 길이 Lo 로 드러나 있고 그 끝인 핀팁(Fin tip)은 단열되어

있다. L_o 가 200 mm일 경우 To < 100도 이여야 한다는 조건을 만족하는가?

사진 설명을 입력하세요.

이문제를 수식으로 풀면 다음과 같이 풀이됩니다

sol)

이 문제는 다음과 같은 가정하에

1. steady state(정상상태 즉 시간에 따라 변하지 않는 열의 이동이 끝난상태)

2. constant thermal conductivity( 열전도도 K가 시간온도에 따라 변하지 않는다 가정)

3. fin end insulated(핀끝 단열조건으로 핀끝으로는 열의 이동이 발생하지 않는다)

4. contact thermal resistance = 0(접촉열저항이 없는 상태(실제로는 존재하지만 무시))

5. ignore radiant heat transfer(복사열전달은 무시)

앞선 포스팅에서 표를보면 핀 끝이 단열된 상태에서의 열전달과 열저항에 대해알 수 있습니다.

이 문제는 Energy conservation에 따라 heat transfer rate가 어느지점에서나 일정함을 이용해 fin의 효율과

저항 열전도율을 통해 T_0를 구하고 100도가 넘는지를 확인하는 문제입니다.

fin의 단열된부분의 열저항

핀의 단면적

핀끝 단열시 핀효율

핀온도(T_0)

100도가 넘으므로 위험합니다.

다음포스팅에서는 Ansys를 통한 결과와 비교해보도록 하겠습니다.

이전 포스팅에서의 열생성이 없는 정상상태의 1차원 열전도식의 결론에서 열저항의 개념이 들어가게 되는데

이 식에서 R=L/KA이고

이러한 열저항 system을 이용하는 이유는 계산의 양을 줄이기 위함입니다.

아래의 상황에서 열저항은 우리가 옴의 법칙 처럼 사용하여 열전달율(Heat transfer rate)를 구할 수 있습니다.

직렬 = R_tot = R1+R2+R3+......

병렬 = R_tot = (R1^-1 + R2^-1 + R3^-1......)^-1

이러한 열저항을 사용하면 아래와 같이 다른 물성치를 가진 복합벽의 경우에서 용이하게 사용될 수 있습니다.

.

여기서 중요한 점은 열전달율 q[w]는 변하지 않는다는 점입니다.

왜냐하면 에너지는 보존되기 때문에 각지점에 따라 k값에 의해 온도는 달라질 수 있으나

steady state이기 때문에 시간은 고려되지 않아 열전도율은 변하지 않고 일정하게 유지됩니다.

이러한 조건을 이용하여 문제를 많이 풀기 때문에 알아두시는 것이 좋습니다.

위의 열저항시스템을 통해 열전도율 q[w]를 구하는 법은 직렬과 병렬의 전체 열저항을 계산한 후 양끝의 온도 T1,T6만을 이용하여 q를 구할 수 있습니다

이러한 방식은 건축에서 단열을 위해 많이 계산하고 꽤 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

아래의 표는 지금까지 유도방식을 바탕으로 cylinderical coordinate spherical coordinate의 좌표계로 계산했을 때의 결과값을 나타내고 있습니다

h는 대류열전달계수로 다음포스팅에서 다루도록 하겠습니다

C.V을 잡고 에너지보존을 적용하고

k = 열전도율[w/m*k]

q = heat transfer[w]

c = 비열

열전달 에너지보존식에서는 열에너지만 고려합니다.

1차원 열전도 방정식이기에 전미분에서 x성분만 이용하였고 y와z의 길이는 단위길이로 하면 다음과 같은 식이

도출됩니다. 아래식에서 2차미분이 나오는 이유는 미소길이 x의 이동에 따른 온도변화를 미분한 것이기 때문에 2차미분이 적용된 것입니다.

단위가 -인 이유는 열의 이동은 감소하는 방향으로 진행하기 때문입니다.

푸리에 법칙에서 2차미분부터는 매우작아지기 때문에 무시하게 되면 다음과 같은 식으로 정리됩니다.

최종식은 아래와 같이 나오게 됩니다

열확산계수는 다음과 같이 정의됩니다.

이 두 상태의 조건이 적용되면 1차원 열생성이 없는 정상상태의 열전도 방정식은 아래와 같이 나옵니다

(steady state no heat generation 1D conduction equation)

여기서 R_cond는 열저항 개념이 적용되는 것인데 다음 포스팅에서 다루도록 하겠습니다.

보통 기계공학에서 similarity(상사성)를 말할 때 유체역학에서는 블라시우스의 상사가 유명하지만

열전달에서도 상사성(similarity)를 이용합니다.

상사란?

유체역학이나 유체의 유동으로 인한 열전달(bulk motion에 의한 열전달)은 특정형상에 대한 실험적 해석을 통해

규칙을 찾아 실험식을 만들게 되는데 이때 다른 크기나 비슷한 형상에서도 적용할 수 있도록 단위의 차원을 무차원으로 만든 것을 상사라고 합니다

상사성을 이용하지 않는 경우 대류열전달을 해석할 때 보통 대류열전달계수 h[w*C/m^2]를 이용 해 왔습니다.

하지만 이러한 대류열전달 계수는 변하지 않고 일정한 Average Heatflux Coef를 사용해 왔습니다.

하지만 이는 실제와는 어느정도 차이가 있고 식으로 엄밀해를 찾는데 한계가 있어 여러 실험을 통해 특정조건을 가진 특정한 식을 만들어 냈습니다.

이러한 식에 사용된 값들은 모두 무차원으로 만들어 사용하는데 아래와 같습니다

이렇게 무차원으로 만드는 이유는 형태가 비슷하고 크기만 다르다면 무차원이면 같은 식을 적용하기 편하기 때문입니다.

이러한 식이 적용되는 것을 알아보기 전 먼저 유체역학에서 나오는 Boundary layer에 대해 알아보도록 하겠습니다.

유체역학에서 boundary layer는 평판이 있을 때 유체가 U_inf라는 속도로 접근하여 지나갈 때 점성에 의해 속도의 차이가 발생하고 U_inf의 99%의 속도를 가진 높이까지의 점들을 연결한 line이 boundary layer라 정의 합니다.

boundary layer에서 처음에는 층류->천이구역->난류로 변하게 되는데 이러한 경계를 정의하는 수가 레이놀즈 수 입니다. 레이놀즈 수 는 아래와 같이 정의되며 무차원 수 입니다.

boundary layer에서 속도는 x에 따라 변하는데 물리량을 무차원화 하면 속도변화를 하나의 그래프로 표현이 가능하다는 것 즉 일반화 가능하다라는 것이 similarity 입니다(어려우실수도 있는데 쉽게 말하자면 하나의 식으로 여러 상태를 풀 수 있다라고 생각하시면 됩니다.)

이러한 무차원화는 유체역학에서 블라시우스가

이 식 에타의 함수로 속도를 나타내었습니다

이식을 이용한다면 Navier-stokes를 사용하지 않아도 유체의 속도와 압력만 안다면 유체의 거동을 알 수 있는 장점이 있습니다.

(Navier-stokes는 못 풀고 근사해만 얼추 알 수 있습니다, 이 식을 푼다면 노벨상 받을 수 있습니다)

참고로

boundary layer에서

mass conservation을 이용하면 continuity equation

moment conservation은 Navier-Stokes

energy conservation은 Bernuii equation

의 식들이 나온 것 입니다.

지금까지는 유체역학이고 열전달로 넘어오면

경계층에는

속도 boundary layer

온도 boundary layer

물질 boundary layer'

가 있고 온도는 속도 boundary layer와 비슷하게 T_inf의 99%가 되는 지점을 이은 선입니다.

물질 boundary layer 도 99%의 밀도선이지만 물질은 화학쪽에서 많이 다루는 것이라 넘어가도록 하겠습니다.

아래식이 차례대로

속도boundary layer

온도boundary layer

물질boundary layer 입니다.

이러한 식들을 보시면 모두 무차원 수로 정의되어 있다는 것을 확인할 수 있습니다.

열을 해석할 때 많이 보는 것은 열전달량과 온도입니다. 그렇기에 실제 산업에서는 h(대류열전달계수)를 구하는 것이 중요합니다.

무차원 수 중에서 대류열전달계수 h를 구할 수 있는 수는 Nussel number 입니다.

이 무차원 수인 Nussel number는 여러 조건이 있는 실험식을 통해 구한 후 위의 식을 통해 구할 수 있습니다.

실험식을 보시면 아시겠지만 Nussel number는 길이x,Re,Pr수의 함수입니다.

즉 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

여기서 Pr은 Prandtl number입니다.

여기서 중요한 점은 위 함수의 x Re Pr(물성치)는 온도에 따라 변하지 않는 constant한 수라고 가정되어야 합니다.

예를 들면 매끈한 관을 통과하는 유동에 대한 Nussel Number를 구한다면 아래와 같은 실험식에서

각각의 값을 대입하여 Nu를 구할 수 있습니다.

다만 이러한 식들은 실험식이므로 Re수와 Pr수 같은 무차원 수를 구할 때 단위에 주의하여야 합니다.

이와 같은 방식(similarity)를 이용하여 열해석이 가능합니다.

열전달 책에서 각각의 식들을 찾으면 되는데 위 식들은 실험식이라 조건이

마지막으로

각 무차원수의 의미를 알아보도록 하겠습니다.

Re=관성력/점성력

Pr= 운동량확산/열확산

Nu= 대류열전달/전도열전달

Sc=운동량확산/물질확산

입니다.

이번포스팅에서는 물질 B.L에 관해 다루지 않았는데

제가 잘 몰라서 못 썻습니다...