파이프유동 pipe flow (couette flow and poiseuill flow by viscous and pressure)

 

오늘은 이러한 potential flow를 시작하기 전에 압력과 점성에의한 유체입자 유동에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

만약 아래와 같은 상황

조건 1.fully developed flow

2.steady state

3. constant pressure gradient

 

일때 한쪽 평판이 u_w만큼 이동할때

 

 

위의 상황을 보면

poise flow는 pressure와 전단응력이 상쇄도고

couette flow는 두 평판사이의 반대되는 전단응력에 상쇄되어 가속도는 0이 됩니다.

그렇기 때문에 다음과 같은 continuity equation과 Navier-stokes momentum equation이 도출됩니다.

 

 

위의 식에서 속도를 구하기 위해 boundary condition을 아래와 같이 사용합니다

 

 

이러한 B.C을 통해 적분하고 대표속도인 u_w로 무차원화 하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

위 solution을 보면 couette flow solution과 poiseuill flow sol의 합으로 나와있는데

이러한 중첩(super position)이 가능한 이유는 위에서 가속도가 0이되어 Navier-stokes에서 비선형인 부분이 사라졌기 때문입니다.

poise flow sol에서 박스부분을 알파라 하고 알파의 변화에 따라 다음 그림과 같은 속도분포를 가지게 됩니다.

 

 

그림을 보면 아래평판은 no slip sol이기 때문에 속도는 0이고

1.압력변화가 0 즉 dp/dx = 0

파란색처럼 속도분포가 되고 이는 couette flow 와 같음을 알 수 있습니다.

2.압력변화가 음수 dp/dx = -

2의 압력이 1보다 작을 경우 알파가+인 노란색 속도분포가 나타납니다.

3.압력변화가 양수 dp/dx = +

2의 압력이 1보다 큰 경우로 알파가 -인 주황색 속도분포로 역방향 속도분포가 발생할 수 있습니다.

(여기서 알파가 -0.25일 경우에는 wall shear stress가 0이되고 박리가 발생합니다.)

(알파가 -0.25보다 더 작아질 경우에는 역류 back flow가 발생합니다.)

 

 

다음으로는 평판이 움직이지 않는 경우

즉 u_w가 0인 경우에 대해 알아보도록 하겠습니다.

그럼 위의 식의 solution이 poiseuille flow solution만 남게 됩니다.

 

 

이때 최고속도는 y=0일 경우이고 체적유량은 Au를 적분한 것으로 다음과 같이 나오게 됩니다.

 

위의 Q를 보면 평판이라 하겐포아죄유식과는 다른 것을 확인 할 수 있습니다.

그리고 아래는 평균속도와 벽면의 전단 drag coefficient 입니다.

 

지금까지 pressure gradient에 의한 유체유동 viscous에 의한 유체유동에 대해 알아보았습니다.