라플라스
졸업마렵다
2022. 10. 29. 23:49
2022. 10. 29. 23:49
나이퀴스트 선도의 정의는 우반평면에 위치한 해당 S값의 전달함수를 복소평면에 그린 벡터궤적으로 이를 통해 정상상태로 갈 때 안전한 형태로 도달할 지 불안전 하게 될 것인지를 보여줍니다.
전동기가 괴도상태에서 정상상태로 도달할 때 안정하게 도달하는지 불안정하게 도달하는지를 판단하는 척도로 나이퀴스트 선도를 이용해 보도록 하겠습니다.
먼저 위의 블록선도는 전동기 제어의 순서를 보여주는 선도 입니다.
제어기를 보면 전동기의 제어 순서는 속도제어기 전류제어기를 거쳐 전압으로 토크를 제어하여 모터를 제어합니다.
라플라스 변환을 통해 나온 값이 좌반 평면에 위치해야 안정한 이유는 역라플라스 변환을 했을 때 amplitude 값이 음수의 지수형태로 나타나 값이 수렴할 수 있기 때문이고 전동기의 경우 전기적 1차지연요소와 기계적 1차 지연 요소로 전체적인 시스템이 2차지연 요소로 나타나 이를 벡터궤적으로 표현한 것이 왼쪽 그림의 파란색 그래프이고 나이퀴스트 선도로 나타내었을 때는 왼쪽의 나이퀴스트 선도 그림과 같습니다.
나이퀴스트 선도를 보았을 때 이득이 1일 때 위상여유는 -180도보다 작아야 하고 위상이 -180일 때 이득이 -의 이득 여유를 가져야 안정한 이유도 또한 라플라스 역변환을 했을 때 값이 수렴하기 때문입니다.
졸업마렵다
2022. 10. 23. 17:57
2022. 10. 23. 17:57
irrotational ,inv
icid flow 에서 속도와 압력을 알수있는 방법중 하나입니다.
potential flow는 invicid 영역이기 때문에 처음에 rotation하는 유체의 경우에는 계속해서 rotation하고 irrotation하는 유체는 계속 iroration합니다.
potential flow를 사용하면 continuity equation과 Euler equation을 풀지 않고 속도장을 알 수 있는 방법으로
이전포스팅에서 경계층영역이 viscous flow영역이므로 경계층 밖의 속도와 압력을 구하고자 할 때 이용됩니다.
이 러한 potential flow를 굳이 사용하는 이유는
Euler equation이 비선형이기에 못 풀어서 사용합니다.
potential flow를 시작하기 전에 potential flow에서 사용되는 기본수식에 대해 알아보도록 하겠습니다.
유체입자유동 기본수식
potential flow에서 나오는 gradient divergent curl의 정리입니다
gradient : ▽P
스칼라함수의 미분으로 각 좌표로 미분한 후 단위vector의 곱을 더한 것으로
3차원에서의 각각의 미분이라고 보면 됩니다.
divergent : ▽· P
내적의 형태로 나타내고 ▽· P 와 같이 표현됩니다.
내적을 취하였기 때문에 방향성을 상실하고 크기만을 나타내는 스칼라함수가 됩니다.
curl : ▽x P
외적의 형태로 나타나고 ▽x P와 같이 표현됩니다.
이는 유체의 한 입자가 회전한 정도를 나타내는 것입니다.
여기서 중요한 사실은
divergent 와 curl ,curl과 divergent를 취하게 되면 수학적으로 모두 0이됩니다.
kelvin helmholtz theorem
아래와 같은 유동이 있을경우를 생각해 보도록 하겠습니다.
1.only normal force
2.irrotational
이러한 조건을 가진 것이 potential flow 또는 ideal flow라고 합니다.
이것이 kelvin helmholtz theorem 입니다.
이러한 potential flow를 이해하기 먼저
유체입자의 유동은 중요한 것이 vortex와 circulation이 있습니다.
vortex는 유체하나의 입자가 회전하는 세기를 나타내는 것이고 circulation은 단면을 지나가고 있는 유체입자의
회전세기의 총 합입니다.
Velocity potential
결론적으로 Euler equation을 만족하는 해중 하나는 vortex가 0일 경우 즉 irrotation일 경우 만족합니다.
다음으로 알아볼 것은 velocity potential입니다.
이러한 velocity potential은 euler equation을 만족하므로
물리적으로 타당하기 위해 이젠 continuity equation을 만족하는지 보아야 합니다.
continuity equation은 다음과 같았음을 저번 연속방정식 포스팅에서 확인해 본 바 있습니다.
여기서 incompressive를 만족하기 위해 다음과 같아야 합니다.
앞에서 euler equation을 통해 momentum conservation을 만족하였고
continuity equation을 통해 mass conservation을 만족하면되는데
여기서 의미하는 것은
l aplace equation을 만족하는 모든 해는 velocity potential이 될 수 있다는 것입니다.
각 좌표계에 따른 laplace equation은 다음과 같습니다.
지금 까지로 보면 laplace equation을 만족하는 해 즉velocity potential은 irrotational incompressive invicid flow하에 있고 velocity potential에 gradient를 취하게되면 속도를 알 수 있습니다.
